무질서와 질서 사이에서

큰일이든 작은 일이든 잠복기가 무의식적인 과정이라면, 그 것이 어떤 유형의 논리를 따르고 어떻게 발생할 수 있었는지 자 문해 볼 필요가 있다. 우리는 생각이 언어적이어서 무의식적인 추론은 적절하지 않다고 전제할 때가 무척 많다. 아인슈타인이 라면 동의하지 않았겠지만, 사실 그도 완전히 의식적인 상태는 절대 도달할 수 없는 스펙트럼의 극단이라고 말하곤 했다. 생각 속에는 항상 무의식적인 부분이 의식적인 부분과 섞여 있다고 말이다.
이 분야의 전문가는 아니지만 의식적, 무의식적 사고에 대한 몇 가지 개인적 관찰을 말해 보겠다. 우리는 단어를 이용해 생각 하고 문장을 구성한다고 느낀다. 실제로 우리가 다른 사람들과 이야기할 때뿐 아니라 조용히 연구할 때도 그렇기는 하다. 누군 가 우리에게 단어를 이용하지 않고 어떤 문제에 대해 생각해 보 라고 하면 아마 완전히 무력한 상태가 될 것이다. 우리는 추론을 단어로 형식화하지 않고는 머릿속에서 문제를 풀 수 없다. 언어 는 어떤 것이든 상관없지만, 반드시 단어가 사용되어야 한다.
그러나 우리가 생각하는 방식이 단어에만 기반을 두는 것은 아니다. 사실 우리는 어떤 문장을 생각하거나 말하기 시작할 때 어디로 갈지 알아야 한다. 우리에게는 따라야 할 문법 규칙이 있

다. 우리는 보통 부정(금)'하는 단어로 문장을 시작하지 않고, 무슨 말을 해야 할지 모르면 말하기를 멈춘다. 반면 머릿속에
'부정'의 단어가 떠오르는 순간 이미 다음에 나올 동사와 문장 전체를 알게 된다. 그런데 이럴 때는 단어로 표현을 하기 전에 비 언어적인 형태로 머릿속에 문장 전체가 들어 있을 것이다.
말을 통해 생각을 형식화하는 일은 매우 중요하다. 말은 강 한 힘을 지니고 있고, 단어들은 서로 연결되어 서로를 끌어당긴 다. 기본적으로 수학의 알고리듬과 같은 기능을 갖는 것이다. 알 고리듬이 거의 혼자서 수학 추론을 이끌어 가는 것처럼, 말에도 생명력이 있어 다른 말을 끌어내 우리로 하여금 추론을 하고 형 식적 논리를 사용하게 해 준다. 아마 생각을 의식적으로 언어로 형식화하는 작업은 우리가 생각한 것을 기억하는 데도 유용할 것이다. 우리가 말을 통해 생각을 형식화하지 않는다면 기억하 기가 훨씬 어려울 수 있다. 그러나 비언어적 사고가 언어적 사고 보다 선행되어야 한다. 생각이 역사적으로 언어보다 훨씬 더 오 래된 것이라는 점을 생각해 보면 이상할 것도 없다. 인간의 언어 는 수만 년의 역사가 있는데, 인간이 언어가 생기기 전에 생각하 지 않았으리라 믿기는 어렵기 때문이다. (동물, 그리고 아직 말을 배 우기 전의 어린아이를 봐도 그 어떤 형태로도 생각을 하지 않으리라 보기는 어렵다)

불행하게도 비언어적 사고가 어떤 유형의 논리를 따르는지 를 알기란 쉽지 않다. 그 이유 중에는 논리가 언어를 기준으로 하 므로 언어라는 수단을 사용해 비언어적 사고를 연구하는 일은 거의 불가능하다는 사실도 포함된다. 그러나 무의식적 사고는 새로운 아이디어를 떠올리는 데 매우 중요하다. 푸앵카레와 아 마다르가 언급한 잠복기라는 긴 기간 동안 무의식적 사고가 사 용될 뿐만 아니라, 수학적 직관이라는 더 근본적인 현상의 근간 을 이루기 때문이기도 하다. 실제로 수학적 직관에는 언뜻 보기
에 놀라운 특징이 몇 가지 있다.
일반적으로 정리의 증명은 연속되는 수많은 단계로 구성되 고, 연역과 연역을 거친 후 마지막에야 답에 이르게 된다. 그러 나 아주 드문 경우를 제외하고는 이것이 정리가 처음으로 증명 된 방법은 아니었다. 일반적으로는 명제가 먼저 형식화된다. 어 디서 시작되고 어디서 끝나게 될지를 아는 상태에서 중간 과정 을 설정한 후, 필수적인 증명을 통해 하나씩 그 과정들을 연결해 최종적으로 완전한 증명에 이르게 되는 것이다. 비유하자면 다 리를 건설할 때와 유사하다. 일단 어디서부터 시작해 어디서 끝 낼지를 결정하고, 중간 기둥들을 세운 후 마지막으로 차도를 올려 완성한다. 첫 번째 경간(인접한 두 교각 사이의 공간. - 옮긴이)부 터 교량을 올리고 그 첫 경간을 완성한 다음에야 두 번째 경간 의 설계로 넘어가려 하다 보면 그제야 두 번째 기둥의 초석을 놓 을 수 없다는 사실을 알게 될 위험이 있다.
한 문장이 단어로 형식화되기 전에 전체적으로 떠올라야 하 는 것처럼, 증명도 연역 단계로 넘어가기 전에 대략적으로라도 수학자의 머릿속에 그려져야 하는 것이다.
이러한 진행 방식은 맨 처음 제시된 증명이 잘못되었음에도 유효한 정리가 많은 이유를 설명해 준다. 수학자는 정리를 올바 르게 형식화하고 앞으로 나아갈 수 있는 방법을 찾은 후에도 중 간 단계의 증명에서 실수할 때가 많다. 수학자의 직관이 거의 맞 는다면 어려운 과정을 실행할 다른 올바른 방법이 있거나, 동일 한 결과에 도달할 수 있는 약간 다른 방법이 존재한다. 수학자 들은 정리의 '의미', 즉 비형식적인 언어로 표현되고 유추나 유사 성, 은유, 직관을 바탕으로 하는 의미에 대해 말하는 경우가 종 종 있다. 일반적으로 이러한 의미는 형식적인 언어가 사용된 수 학 문헌에서는 추적할 수가 없다. 이 의미는 어떤 식으로든 애초 의 직관을 정당화하지만, 형식화할 수 없기 때문에 친구들 사이 에서나 말할 수 있고, 엄밀해야 하는 문헌에는 들어갈 수 없는 부정확한 것으로 느껴진다 139